Fractais: um exemplo de como a ciência e a arte se conjugam
Por vezes é difícil encontrarmos uma relação entre algo tão racional como a ciência e algo tão sensorial como a arte, dois mundos que parecem desconectados e sem relação aparente. Estes mundos conjugam-se muito mais facilmente do que imaginamos, sob as mais diversas formas, uma vez que a ciência consegue inspirar a arte, mas a arte consegue também inspirar a ciência na procura de novas respostas e métodos. Sendo que a arte pressupõe um domínio estético que nos confira sensações e que nos deixe fascinar pelo belo, a perfeição da geometria seria um exemplo excelente de como conseguimos transformar algo científico em arte, dada a perfeição das formas e das retas. Isto porque há quem tenha logo à partida a ideia de que algo imperfeito não tem nada de estético nem de artístico, algo que não é de todo objetivo e fácil de interpretar. No fundo, as imperfeições são também arte, e descrever essas imperfeições através de uma linguagem científica como a matemática foi sempre algo desafiante. É aqui que entram os fractais, formas irregulares presentes em vários domínios simples do nosso quotidiano, e em domínios mais complexos do ponto de vista científico, que também podem ser encarados como uma forma de arte em diversos níveis.
A matemática dos Fractais
Os fractais são objetos que não pertencem à geometria euclidiana, isto é, não se tratam de objetos com uma forma geométrica clássica como as das formas e dos sólidos que conhecemos. O principal promotor desta teoria foi o matemático franco-polaco Benoit Mandelbrot (1924-2010), que acabou por definir a chamada Teoria da Rugosidade (Theory of Roughness). Como exemplo de uma possível aplicação da teoria, deu como principal exemplo o comprimento da costa da Grã-Bretanha e em 1967 sairia o artigo intitulado “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension” publicado na prestigiada revista Science. Para além da costa da Grã-Bretanha, Mandelbrot incluiu neste seu estudo a costa australiana, a costa sul-africana, a fronteira terrestre da Alemanha de 1900 e ainda a fronteira terrestre de Portugal com a Espanha, o que lhe despertou o interesse pela abordagem e a aplicação dos fractais. Estes exemplos tiveram como base um artigo anteriormente publicado por L. F. Richardson, que inspirara Mandelbrot na explicação dos fractais e nas suas aplicações práticas.
A Costa da Grã-Bretanha, ou qualquer zona costeira de uma determinada região, por ser feita de rugosidades, não teria um comprimento aparentemente fixo. Se usássemos uma escala grande, estaríamos a ignorar os pequenos detalhes e obteríamos um comprimento demasiado curto. Com uma escala muito pequena, estaríamos a adicionar demasiadas imperfeições, o que tornaria o comprimento demasiado grande. Com isto, Mandelbrot acabaria por demonstrar que os defeitos e as imperfeições, neste caso, irregularidades, devem ser tidas em conta e não tomadas como simples erros de medição ou desvios. Neste artigo é explicado como uma reta pode ser dividida em n segmentos com um fator de escala s associado e um expoente de similaridade D, a chamada dimensão fractal ou fator de rugosidade. Estes três elementos podem ser relacionados através da expressão n=1/sD ou, se quisermos definir a dimensão fractal, D=log(n)/log(1/s) através da razão entre estes dois logaritmos. A teoria de Mandelbrot teve como base outras já existentes, como as curvas de Koch, que consistem em dividir o mesmo segmento de reta em três de igual comprimento, ou o triângulo de Sierpiński, que consistia em dividir um triângulo equilátero em outros três mais pequenos, mas de igual proporção.
Como os fractais se expandiram em diversos ramos da ciência
O facto de Benoit Mandelbrot ter explicado que as irregularidades não eram simples desvios no que toca ao plano físico da medição, veio revolucionar o conceito de medição destas irregularidades que não deviam ser de todo desprezadas para o efeito em causa. No fundo, o conceito de fractal veio a abranger muito mais do que se esperaria, tendo em conta a sua fácil concepção em sistemas complexos. Os fractais foram adaptados em diversos domínios da ciência, permitindo melhorias na interpretação de alguns dos fenómenos e das suas grandezas. Na geografia, para além dos fractais conseguirem descrever a forma das zonas costeiras, também conseguem descrever as cadeias montanhosas que contêm inúmeras irregularidades. Na geofísica, os fractais são utilizados em modelos meteorológicos aplicados à precipitação e em modelos que descrevem a distribuição da magnitude dos terramotos, nomeadamente no modo como as ondas sísmicas se propagam no solo. Na biologia, os fractais estão presentes em grande parte dos sistemas vivos, mostrando como as irregularidades da natureza podem ser belas ao ponto de poderem ser descritas através desta teoria. Os neurónios, os vasos sanguíneos, os brônquios, e outros órgãos e constituintes do nosso corpo podem ser descritos através da matemática dos fractais. Muitas plantas possuem superfícies ou constituintes que podem ser também descritos através da matemática fractal.
Na química, os fenómenos de catálise, que pressupõem a adsorção de moléculas nas superfícies de um material rugoso, podem ser modulados através da geometria fractal, assim como fenómenos de difusão ou a interpretação de movimentos brownianos. Na física e na astrofísica, os fractais podem ser aplicados no que toca à distribuição da matéria do universo, na chamada teoria da distribuição fractal, ou até em domínios mais complexos da física, como na distribuição das galáxias usando ferramentas fractais. Os fractais acabaram assim por revolucionar a interpretação geométrica das irregularidades em diversos níveis e aplicações. Objetos que aparentemente não apresentavam qualquer tipo de forma geométrica, passaram a poder ter uma matemática que os pudesse descrever geometricamente. Na verdade, como matemático, Mandelbrot não teve como principal interesse a geometria e os fractais, mas sim os mercados financeiros e a variação incremental dos preços ao longo do tempo. Essas variações que se assemelhavam a rugosidades e a uma certa desordem e caos nos valores oscilantes de mercado, despertaram-lhe o interesse pela geometria fractal. No fundo, foi o estudo de séries temporais com comportamento irregular que lhe despertou o interesse por esta temática, que foi transposta para a geometria.
A arte dos fractais
Arte dos fractais, ou arte fractal, é um tipo de arte baseado na matemática dos fractais, que utiliza funções matemáticas para gerar imagens, animações, sequências e até mesmo música. Ganhou fama na década de 70 do século XX, graças a gráficos gerados a partir da dinâmica complexa desenvolvida por Gaston Julia e Pierre Fatou, dois antecessores de Mandelbrot no que toca ao estudo da matemática dos fractais. Um exemplo particular é o chamado fractal de Newton, que surge ao aplicar o método de Newton de forma iterativa a polinómios complexos, procurando as regiões de convergência para as diferentes raízes. A partir destes cálculos iterativos, foram geradas imagens de cariz fractal que se popularizaram e inspiraram a sua utilização em outros domínios da arte. No caso da música fractal, por exemplo, ou dos sons fractais, os resultados destes cálculos são transformados em sons. Geralmente, usam-se computadores para processá-los, devido à complexidade da matemática envolvida. Embora a geração automática através de inteligência artificial generativa tenha facilitado a produção de imagens fractais e até mesmo de sons e de outras variantes, a compreensão matemática por detrás delas continua a ser essencial para explorar plenamente o seu potencial artístico.
Graças aos fractais, é possível criar arte com base em estruturas exóticas com padrões surreais, cósmicos e psicadélicos, muitas vezes utilizados em capas de álbuns, posters, padrões e efeitos visuais e sonoros com que muitas vezes nos deparamos no nosso dia-a-dia. São vários os programas de computador que o fazem, produzindo texturas de interesse, inclusive tridimensionais, nas quais também podem ser utilizadas fórmulas e algoritmos para gerá-las. Questiona-se, muitas vezes, se esta será uma forma de colmatar a arte humana, visto que tende a ser ameaçada cada vez mais pelos avanços de ferramentas de inteligência artificial que desenvolvem e aplicam algoritmos complexos para este efeito. Mas nunca devemos esquecer que tanto a ciência por detrás da tecnologia mais avançada como a arte, são componentes humanas, muitas vezes repletas de imperfeições que ainda nos inspiram.
